La più bella formula matematica: l’identità di Eulero

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Nel 1748 il matematico svizzero Leonhard Euler ( Eulero ), uno dei più prolifici e completi matematici della storia, tirò fuori dal cilindro una formula matematica stilisticamente così semplice ed essenziale da poter addirittura venire ignorata da un osservatore poco attento e in cerca della classica forma lunga e complessa. Tale formula prese il nome non dallo scopritore ( fu l’inglese Roger Cotes il primo a introdurla, qualche anno prima dello svizzero ) ma da colui che la notò con particolare interesse e la rese celebre: Eulero.

Data la basilarità di quest’equazione, spesso si perde di vista quanto sia potente questa formulazione dei numeri complessi, cioè quell’insieme di numeri in cui l’equazione

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ammette soluzioni.

Formula di Eulero e sua rappresentazione geometrica

L’interpretazione geometrica, come sempre, ci viene incontro e ci chiarisce cosa stiano a significare questi termini messi insieme in questo modo: essi localizzano nel piano complesso ( dove sulle ordinate è rappresentata la parte immaginaria del numero e sulle ascisse la sua parte reale; un numero complesso è infatti costituito da questa coppia di valori ) un punto della circonferenza unitaria, cioè di raggio pari a 1, che altro non è se non il numero complesso definito dall’angolo 𝜑; il tutto in una forma alternativa rispetto a quella classica cartesiana. Sfortunatamente, né Cotes né Eulero ebbero la possibilità di osservare tale interpretazione, a causa dell’invenzione del piano complesso successiva alla loro morte.

Partendo dall’equazione appena vista venne immediato notare la sua forma nel caso particolare in cui x = 𝜋 : in tal caso il coseno vale -1 e il seno si annulla. La formula di Eulero prende così il nome di Identità di Eulero e si rivela in tutto il suo splendore

euler

Questa formula, tanto semplice e completa quanto profonda, è stata negli anni votata da gran parte della comunità scientifica come la più bella formula matematica di sempre. In essa si riversano alcuni dei più importanti e basilari concetti della matematica e nonostante ciò la forma rimane incredibilmente essenziale e il contenuto dalle infinite applicazioni.

Il segreto della sua bellezza si nasconde dietro alla perfetta combinazione di ogni suo termine.

  • e: numero di Eulero ( o anche numero di Nepero ), è una delle costanti irrazionali più importanti della matematica, connessa allo studio dei logaritmi e alla crescita esponenziale;
  • i: unità immaginaria, è ciò che permette il passaggio dai numeri reali ai numeri complessi e rappresenta l’immaginaria radice quadrata di -1;
  • 𝜋: si tratta probabilmente della più importante e famosa costante matematica in assoluto, essa definisce il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza ed il suo diametro;
  • 1: elemento neutro dell’operazione di moltiplicazione;
  • 0: elemento neutro dell’operazione di somma, nonché concetto filosofico del nulla.

Sono quindi presenti irrazionali reali ( e ), irrazionali immaginari ( i𝜋 ) e interi ( 1, 0 ). Il tutto è impreziosito da 3 imprescendibili operazioni matematiche: addizione, moltiplicazione, elevamento a potenza.

Pare che il matematico statunitense Benjamin Peirce, durante una lezione universitaria e alla fine della dimostrazione della formula, disse:

“Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale; non possiamo capirla e non sappiamo cosa significhi. Ma l’abbiamo dimostrata, e quindi sappiamo che dev’essere la verità”

Come accennato in precedenza, poi, questa formula possiede anche numerose applicazioni in svariati campi, per lo più tecnologici. Nell’ambito delle comunicazioni e della teoria dei segnali, settori incredibilmente vasti, vi è un larghissimo utilizzo dell’analisi complessa, a partire dalla trasformata di Fourier espressa tramite esponenziale complesso. Nello sconfinato campo dell’elettronica e, in generale, in tutte quelle branche dell’ingegneria in cui si fa un pesante uso dell’analisi complessa ( energetica, automatica, ecc… ), la formula di Eulero rappresenta uno dei fondamentali punti di partenza per inoltrarsi in qualunque ragionamento o procedimento.

L’analisi complessa, e quindi conseguentemente la formula di Eulero, rappresenta un potentissimo ed indispensabile strumento di calcolo in gran parte delle branche della fisica e dell’ingegneria; è così quindi che la bellezza intrinseca di questa formula risiede tanto nella sua semplice e meravigliosa bellezza estetica quanto nell’immensa vastità del suo campo di utilizzo.

Filippo Costa

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